ملخص البرهان بالتراجع

الاستاد فرحي · **مرسل:** الأحد مارس 23, 2008 3:45 pm

قمت بتحضير هدا الملخص لتلاميد البكالوريا لمساعدة الطلاب لفهم هدا الدرس الدي يعتبر اهم دروس المبرمجة في البكالوريا
ان البرهان بالتراجع واحد من البراهين المعروفة في الرياضيات (كالبرهان بالخلف , البرهان بالعكس النقيض...) , عندما تواجهون اسئلة من نوع ( برهم بان) اول شئ يجب فعله هو ملاحضة المعطيات , ادا وجدت $n\in N$ ففكر مباشرة في البرهان بالتراجع ان لم تكن لديك فكرة اخرى بالطبع ( فمتلا يقال لك برهن انه

كيفية البرهان بالتراجع :

يمكننا القول انه للبرهان عن معادلة بالتراجع سنقوم بتعويض قيمتين في المعادلة , القيمة الاولى هي اقل قيمة يمكن ان ياخدها (n) و القيمة التانية هي اكبر قيمة له اي (n+1)
متال :
برهن انه $\forall n \in N$ :

$0+1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

الشرح :

المرحلة الاولى من البرهان بالتراجع :

اول شئ نقوم به هو التعويض باصغر قيمة يمكن ان ياخدها (n) بما انه لدينا $\forall n \in N$ فالصفر هو اصغر قيمة ياخدها (n)

ادا من اجل n=0 نعوض في المعادلة فنجد 0=0
ادا فالمعادلة محققة من اجل n=0

المرحلة التانية من البرهان بالتراجع :

نعوض (n) باكبر قيمة يمكنه اخدها اي (n+1)
من اجل (n+1) :

$0+1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)*(n+2)}{2}$ ........ (1)

المرحلة التالتة من البرهان بالتراجع :

يجب ان نبرهن ان المعادلة (1) محققة وللبرهان عليها يجب البدئ بالمعادلة المعطات لنسميها (2)

(2).......... $0+1+2+3+...+n=\frac {n*(n+1)}{2}$

الان ننضر مع المعادلتان (1) و (2) و نفكر جيدا ما الدي يمكن فعله للمعادلة (2) حتى تصبح كالمعادلة (1)

لديكم دقيقة واحدة للتفكير 1-2-3 انتهى الوقت :lol:

: مادا وجدتم ؟

سنضيف للمعادلة (2) : (n+1) للطرفين تم نجمع الطرفين

تصبح المعادلة (2) هكدا

$0+1+2+3+...+n+(n+1)=\frac {n*(n+1)}{2}+(n+1)$

$0+1+2+3+...+n+(n+1)=\frac {n*(n+1)+2n+2}{2}$

$0+1+2+3+...+n+(n+1)=\frac {(n+1)(n+2)}{2}$

ومن هدا نلاحض انه من فرضية التراجع ان المعادلة (1) محققة من اجل $\forall n\in N$
ومنه نستخلص انه

$\forall n\in N$ : $0+1+2+3+...+n=\frac {n*(n+1)}{2}$